Algorithm - Prim Algorithm

Prim Algorithm이란?

시작 정점에서부터 출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장해나가는 방법

Prim Algorithm의 동작

1. 시작 단계에서는 시작 정점만이 MST(최소 비용 신장 트리) 집합에 포함된다.
2. 앞 단계에서 만들어진 MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 간선으로 연결된 정점을 선택하여 트리를 확장한다.
   • 즉, 가장 낮은 가중치를 먼저 선택한다.
3. 위의 과정을 트리가 (N-1)개의 간선을 가질 때까지 반복한다.

Prim Algorithm의 구체적인 동작 과정

Prim 알고리즘을 이용하여 MST(최소 비용 신장 트리)를 만드는 과정

• 정점 선택을 기반 으로 하는 알고리즘
• 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장하는 방법
  
  

  

Prim Algorithm 구현

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

vector<vector<pair<int, int>>> edge;
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<>> pq;
bool visited[10001];
int v, e, c, k;

void prim(int v);

int main() {
  scanf("%d %d", &v, &e);
  edge.resize(v+1);
  int x, y, z;
  for (int i=0; i<e; i++) {
    scanf("%d %d %d", &x, &y, &z);
    edge[x].push_back({z, y});
    edge[y].push_back({z, x});
  }
  prim(1);// 1번 정점으로 트리를 만들어 시작
  printf("%d\n", k);
  return 0;
}

void prim(int v) {
  visited[v] = true;

  for (auto u: edge[v]) {
    if (!visited[u.second]) {
      pq.push({u.first, u.second});
    }
  }// 정점 v와 연결된 간선을 큐에 담는다

  while (!pq.empty()) {
    auto w = pq.top();
    pq.pop();
    if (!visited[w.second]) {
      k += w.first;
      prim(w.second);
      return;
    }// 정점이 트리와 연결되지 않았으면 연결한다
  }// 가중치가 낮은 간선을 차례대로 탐색하면서
}

Prim Algorithm의 시간 복잡도

• 주 반복문이 정점의 수 n만큼 반복하고, 내부 반복문이 n번 반복
  • Prim의 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n^2) 이 된다.
• Kruskal 알고리즘의 시간 복잡도는 O(elog₂e) 이므로
  • 그래프 내에 적은 숫자의 간선만을 가지는 ‘희소 그래프(Sparse Graph)’의 경우 Kruskal 알고리즘이 적합하고
  • 그래프에 간선이 많이 존재하는 ‘밀집 그래프(Dense Graph)’ 의 경우는 Prim 알고리즘이 적합하다.

출처: https://gmlwjd9405.github.io/2018/08/30/algorithm-prim-mst.html