Algorithms - Quick Sort (퀵정렬)

퀵 정렬은 불안정 정렬 에 속하며, 다른 원소와의 비교만으로 정렬을 수행하는 비교 정렬에 속합니다~분할 정복 알고리즘의 하나로, 평균적으로 매우 빠른 수행 속도를 자랑하는 정렬 방법입니다.!!

합병 정렬(merge sort)과 달리 퀵 정렬은 리스트를 비균등하게 분할하며, 분할 정복(divide and conquer) 방법 문제를 작은 2개의 문제로 분리하고 각각을 해결한 다음, 결과를 모아서 원래의 문제를 해결하는 전략이죠!~

과정 설명

• 리스트 안에 있는 한 요소를 선택한다. 이렇게 고른 원소를 피벗(pivot) 이라고 한다.
• 피벗을 기준으로 피벗보다 작은 요소들은 모두 피벗의 왼쪽으로 옮겨지고 피벗보다 큰 요소들은 모두 피벗의 오른쪽으로 옮겨진다. (피벗을 중심으로 왼쪽: 피벗보다 작은 요소들, 오른쪽: 피벗보다 큰 요소들)
• 피벗을 제외한 왼쪽 리스트와 오른쪽 리스트를 다시 정렬한다.
  
  • 분할된 부분 리스트에 대하여 순환 호출 을 이용하여 정렬을 반복한다.
  • 부분 리스트에서도 다시 피벗을 정하고 피벗을 기준으로 2개의 부분 리스트로 나누는 과정을 반복한다.
•  부분 리스트들이 더 이상 분할이 불가능할 때까지 반복한다.
  
  • 리스트의 크기가 0이나 1이 될 때까지 반복한다.

퀵 정렬(quick sort) 알고리즘의 구체적인 개념

• 하나의 리스트를 피벗(pivot)을 기준으로 두 개의 비균등한 크기로 분할하고 분할된 부분 리스트를 정렬한 다음, 두 개의 정렬된 부분 리스트를 합하여 전체가 정렬된 리스트가 되게 하는 방법이다.
• 퀵 정렬은 다음의 단계들로 이루어진다.
  
  • 분할(Divide): 입력 배열을 피벗을 기준으로 비균등하게 2개의 부분 배열(피벗을 중심으로 왼쪽: 피벗보다 작은 요소들, 오른쪽: 피벗보다 큰 요소들)로 분할한다.
  • 정복(Conquer): 부분 배열을 정렬한다. 부분 배열의 크기가 충분히 작지 않으면 순환 호출 을 이용하여 다시 분할 정복 방법을 적용한다.
  • 결합(Combine): 정렬된 부분 배열들을 하나의 배열에 합병한다.
  • 순환 호출이 한번 진행될 때마다 최소한 하나의 원소(피벗)는 최종적으로 위치가 정해지므로, 이 알고리즘은 반드시 끝난다는 것을 보장할 수 있다.

그림설명

• 피벗 값을 입력 리스트의 첫 번째 데이터로 하자. (다른 임의의 값이어도 상관없다.)
• 2개의 인덱스 변수(low, high)를 이용해서 리스트를 두 개의 부분 리스트로 나눈다.
• 1회전: 피벗이 5인 경우,
  
  • low는 왼쪽에서 오른쪽으로 탐색해가다가 피벗보다 큰 데이터(8)을 찾으면 멈춘다.
  • high는 오른쪽에서 왼쪽으로 탐색해가다가 피벗보다 작은 데이터(2)를 찾으면 멈춘다.
  • low와 high가 가리키는 두 데이터를 서로 교환한다.
  • 이 탐색-교환 과정은 low와 high가 엇갈릴 때까지 반복한다.
•  2회전: 피벗(1회전의 왼쪽 부분리스트의 첫 번째 데이터)이 1인 경우, 
  • 위와 동일한 방법으로 반복한다.
•  3회전: 피벗(1회전의 오른쪽 부분리스트의 첫 번째 데이터)이 9인 경우,
  • 위와 동일한 방법으로 반복한다.

코드

#include <iostream>
using namespace std;

void quick_sort(int data[],int start,int end){
    if(start>=end) return;

    int pivot = start;
    int i= pivot+1;    //왼쪽 출발~
    int j = end;    //오른쪽 출발 지점
    int temp;

    while(i<=j){
        while(i<=end &&data[i]<=data[pivot]) i++;
        while(j>start &&data[j]>=data[pivot]) j--;
        if(i>j){
            temp = data[j];
            data[j] = data[pivot];
            data[pivot] = temp;
        }
        else{
            temp = data[i];
            data[i] = data[j];
            data[j] = temp;
        }
    }
    quick_sort(data,start,j-1);
    quick_sort(data,j+1,end);
}
int main(){
    int data[]={4,10,1,7,9,6,2};
    cout<<"\n";
    quick_sort(data,0,sizeof(data)/sizeof(int)-1);
    for(int i=0;i<sizeof(data)/sizeof(int);i++){
        cout<<data[i]<<", ";
    }
    return 0;
}

퀵 정렬(quick sort) 알고리즘의 특징

• 장점
  
  • 속도가 빠르다.
  • 시간 복잡도가 O(nlog₂n)를 가지는 다른 정렬 알고리즘과 비교했을 때도 가장 빠르다.
  • 추가 메모리 공간을 필요로 하지 않는다.
  • 퀵 정렬은 O(log n)만큼의 메모리를 필요로 한다.
•  단점
  
  • 정렬된 리스트에 대해서는 퀵 정렬의 불균형 분할에 의해 오히려 수행시간이 더 많이 걸린다.
  • 퀵 정렬의 불균형 분할을 방지하기 위하여 피벗을 선택할 때 더욱 리스트를 균등하게 분할할 수 있는 데이터를 선택한다.
    
    • EX) 리스트 내의 몇 개의 데이터 중에서 크기순으로 중간 값(medium)을 피벗으로 선택한다.

퀵 정렬(quick sort)의 시간복잡도

• 최선의 경우
  
  • 비교 횟수
    
    • 순환 호출의 깊이
      
      • 레코드의 개수 n이 2의 거듭제곱이라고 가정(n=2^k)했을 때, n=2^3의 경우, 2^3 -> 2^2 -> 2^1 -> 2^0 순으로 줄어들어순환 호출의 깊이가 3임을 알 수 있다. 이것을 일반화하면 n=2^k의 경우, k(k=log₂n)임을 알 수 있다.
      • k=log₂n
    •  각 순환 호출 단계의 비교 연산
      
      • 각 순환 호출에서는 전체 리스트의 대부분의 레코드를 비교해야 하므로 평균 n번 정도의 비교가 이루어진다.
      • 평균 n번
    •  순환 호출의 깊이 * 각 순환 호출 단계의 비교 연산 = nlog₂n
  •  이동 횟수
    
    • 비교 횟수보다 적으므로 무시할 수 있다.
  •  최선의 경우 T(n) = O(nlog₂n)

최선의 경우 : 비교횟수

•  최악의 경우
  
  • 리스트가 계속 불균형하게 나누어지는 경우 (특히, 이미 정렬된 리스트에 대하여 퀵 정렬을 실행하는 경우)
  • 비교 횟수
    
    • 순환 호출의 깊이
      
      • 레코드의 개수 n이 2의 거듭제곱이라고 가정(n=2^k)했을 때, 순환 호출의 깊이는 n임을 알 수 있다.
      • n
    • 각 순환 호출 단계의 비교 연산
      
      • 각 순환 호출에서는 전체 리스트의 대부분의 레코드를 비교해야 하므로 평균 n번 정도의 비교가 이루어진다.
      • 평균 n번
    •  순환 호출의 깊이 * 각 순환 호출 단계의 비교 연산 = n^2
  •  이동 횟수
    
    • 비교 횟수보다 적으므로 무시할 수 있다.
  • 최악의 경우 T(n) = O(n^2)

• 평균
  
  • 평균 T(n) = O(nlog₂n)
  • 시간 복잡도가 O(nlog₂n)를 가지는 다른 정렬 알고리즘과 비교했을 때도 가장 빠르다.
  • 퀵 정렬이 불필요한 데이터의 이동을 줄이고 먼 거리의 데이터를 교환할 뿐만 아니라, 한 번 결정된 피벗들이 추후 연산에서 제외되는 특성 때문이다.

정렬 알고리즘 시간 복잡도

출처 : https://gmlwjd9405.github.io/2018/05/10/algorithm-quick-sort.html